Leider nicht ganz so verständlich erklärt wie andere Artikel aus dieser Serie. Ein paar Rechenbeispiele anhand einer Funktion wären nützlich.
Ansonsten: Super Seite! *alle verfügbaren Daumen reck*
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Die Aussage, dass die Ableitung bei einer streng monoton steigenden Funktion nicht null werden darf, ist falsch!
Der Graph zu f:x --> x^3 besitzt zwar an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente, also die Ableitung 0, ist aber streng monoton steigend, da er das folgende Kriterium erfüllt:
Vergleicht man zwei Stellen x1 und x2, wobei x2 > x1 gelten soll, so muss bei einer streng monoton steigenden Funktion der Funktionswert f(x2) echt größer sein als der Funktionswert f(x1), das heißt f(x1) < f(x2).
Fällt das Kriterium streng weg, so genügt ein kleiner oder gleich zwischen den beiden Funktionswerten.
Ein Extrembeispiel: Die Funktion f: x --> 2, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist, kann demnach als monoton steigende Funktion betrachtet werden, da jeder Funktionswert zu einer Stelle x2, die weiter rechts liegt als ein beliebige Stelle x1, zwar nicht größer ist als f(x1), aber zumindest gleich.
Mit einer analogen Argumentation könnte man übrigens zeigen, dass die Funktion f:x --> 2 monoton fallend ist.
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Die Überschneidung von <= und >= ist hier durchaus richtig. In anderen Fällen darf sie zwar nicht geschehen, hier jedoch schon.
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0 kommt hier in BEIDEN Bereichen vor, dass muss aber so sein!
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bezüglich diesen Kommentars:
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"Liegt ein Wendepunkt in einer streng monotonen Phase vor, dann ist diese nicht mehr "streng monoton" sondern nur noch "monoton" steigend/fallend (da an dieser Stelle die Steigung gleich 0 ist)."
Die Steigung ist doch nur bei der Sonderform des Wendepunkts - dem Sattelpunkt - gleich Null, oder?
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Das ist vollkommen egal. Selbst bei einem Sattelpunkt ist die Funktion STRENG monoton steigend (bzw. fallend), denn (wenn wir vom beispiel steigend ausgehen) ist links des sattelpunktes der y-wert kleiner und rechts des sattelpunkts der y-wert größer als an dem y-punkt des sattelpunkts. da die ableitung, bzw. steigung NUR IN EINEM punkt = Null ist, ist die funktion STRENG monoton steigend. nur wenn an mehreren punkten nebeneinader die ableitung = Null wäre, dann wär sie "nur" monoton steigend.
d.h. die funktion f(x)=x^3 z.B. ist ebenfalls streng monoton steigend, und dass im ganzen Defintionsbereich!
das ist auch der grund warum man bei der angabe der monotonie die zeichen <= bzw. >= verwendet und nicht nur < bzw. > ....
--> Beispiel: x^2 ist im Bereich {x<=0} streng monoton fallend und im Bereich {x>=0} streng monoton steigend!
0 kommt hier in Bereichen vor, dass muss aber so sein!
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also monotonie ist doch ganz einfach, in eurer FS steht doch monotonie drin! ihr macht einfach eine vorzeichentabelle und guckt wo sie negativ ist und wo positiv, ist sie negativ, ist sie monoton fallend und poistiv natürlich dann monoton steigend! ist ganz einfach....
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www.oberprima.com
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ich kapier das trotzdem nicht =(
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servus,
wirklich schöne seite, hat mir schon einiges gebracht.
Vieleicht kann man hier auch nochmal eine Beispielaufgabe vorführen, da mir die ganze Vorgehensweise, insbesondere was den Vorzeichenwechsel angeht, schwerfällt.
Vielen Dank im Vorraus
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Stimmt, danke für den Hinweis.
Der Fehler wurde korrigiert.
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"Liegt ein Wendepunkt in einer streng monotonen Phase vor, dann ist diese nicht mehr "streng monoton" sondern nur noch "monoton" steigend/fallend (da an dieser Stelle die Steigung gleich 0 ist)."
Die Steigung ist doch nur bei der Sonderform des Wendepunkts - dem Sattelpunkt - gleich Null, oder?
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Der Graph zu f:x --> x^3 besitzt zwar an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente, also die Ableitung 0, ist aber streng monoton steigend, da er das folgende Kriterium erfüllt:
Vergleicht man zwei Stellen x1 und x2, wobei x2 > x1 gelten soll, so muss bei einer streng monoton steigenden Funktion der Funktionswert f(x2) echt größer sein als der Funktionswert f(x1), das heißt f(x1) < f(x2).
Fällt das Kriterium streng weg, so genügt ein kleiner oder gleich zwischen den beiden Funktionswerten.
Ein Extrembeispiel: Die Funktion f: x --> 2, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist, kann demnach als monoton steigende Funktion betrachtet werden, da jeder Funktionswert zu einer Stelle x2, die weiter rechts liegt als ein beliebige Stelle x1, zwar nicht größer ist als f(x1), aber zumindest gleich.
Mit einer analogen Argumentation könnte man übrigens zeigen, dass die Funktion f:x --> 2 monoton fallend ist.
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"Liegt ein Wendepunkt in einer streng monotonen Phase vor, dann ist diese nicht mehr "streng monoton" sondern nur noch "monoton" steigend/fallend (da an dieser Stelle die Steigung gleich 0 ist)."
Die Steigung ist doch nur bei der Sonderform des Wendepunkts - dem Sattelpunkt - gleich Null, oder?
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Das ist vollkommen egal. Selbst bei einem Sattelpunkt ist die Funktion STRENG monoton steigend (bzw. fallend), denn (wenn wir vom beispiel steigend ausgehen) ist links des sattelpunktes der y-wert kleiner und rechts des sattelpunkts der y-wert größer als an dem y-punkt des sattelpunkts. da die ableitung, bzw. steigung NUR IN EINEM punkt = Null ist, ist die funktion STRENG monoton steigend. nur wenn an mehreren punkten nebeneinader die ableitung = Null wäre, dann wär sie "nur" monoton steigend.
d.h. die funktion f(x)=x^3 z.B. ist ebenfalls streng monoton steigend, und dass im ganzen Defintionsbereich!
das ist auch der grund warum man bei der angabe der monotonie die zeichen <= bzw. >= verwendet und nicht nur < bzw. > ....
--> Beispiel: x^2 ist im Bereich {x<=0} streng monoton fallend und im Bereich {x>=0} streng monoton steigend!
0 kommt hier in Bereichen vor, dass muss aber so sein!
wirklich schöne seite, hat mir schon einiges gebracht.
Vieleicht kann man hier auch nochmal eine Beispielaufgabe vorführen, da mir die ganze Vorgehensweise, insbesondere was den Vorzeichenwechsel angeht, schwerfällt.
Vielen Dank im Vorraus
Der Fehler wurde korrigiert.
Die Steigung ist doch nur bei der Sonderform des Wendepunkts - dem Sattelpunkt - gleich Null, oder?