Alle Kommentare zu "Winkel zwischen Gerade und Ebene"

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Anmerkung: Ich nenne den gesuchten Winkel im weiteren α.
α liegt zwischen Gerade und Ebene.

---

Oben wird der Winkel Phi errechnet, der zwischen dem Richtungsvektor der Gerade und dem senkrechten Vektor der Ebene liegt (dieser wurde mit dem Vektorprodukt errechnet).

Deshalb ist zuletzt noch ein Rechenschritt nötig (α = 90° - φ).

Den Winkel zwischen 2 Vektoren errechnet man immer mit dem Kosinus. Zum Vergleich: Formel siehe bei Skalarprodukt/Hinweise.

Man kann aber benutzen, dass für jeden Winkel gilt:
Cos(φ) = Sin(90° - φ)

Also mit α = 90°- φ eingesetzt:
Cos(φ) = Sin(α)

Deshalb findet man in Formelsammlungen direkt den Sinus, um sich den letzten Zwischenschritt zu sparen.

    ^ <---- Vektorprodukt 
    |
    |
    |
____|______   <- Ebene

         
    ^        ´ <- Richtungsvektor der Geraden
    | *    ´  
    |    ´
    |  ´ **
____|´______

* Hier liegt Phi
** Hier liegt der gesuchte Winkel Alpha

hier ist es schon richtig, aber wenn du sin machst, dann musst du auch nicht den letzten schritt machen
mit sinus ist es einfacher

FALSCH! achtung! GERADE-GERADE: cos EBENE-EBENE: cos GERADE-EBENE: sin!!!! nicht cos!

Wenn man (-5,10,-5) mit 5 kürzt, ergibt das (-1,2,-1), was man bei Vektoren darf.
Also ist es korrekt.

Das vektorprodukt ist falsch!!!
40-45=-5; 50-40=10;45-50=-5

Rechnet man mit dem Vektorprodukt nicht Hauptdiagonale - Nebendiagonale, d.h. für den x-Wert des Normalenvektors = 5 da (5x9)-(5x8)=5, für den y-Wert -10 da (5x8)-(5x10)=-10 und für den z-Wert 5 da (5x10)-(5x9)=5????

wirklich super !!!

Also ich hab die Sache mit dem sinus und cosinus nochmal nachgerechnet. Wenn man gleich den sinus nimmt, muss man nicht mehr 90° minus das Ergebnis rechnen. Wenn man den cosinus nimmt, schon, also stimmt das hier. Nur in den Formelsammlungen steht es mit sinus.

RICHTIG GEILE SEITE ALTERR!

die Formel ist falsch!
da muss sinus hin, anstatt cosinus

Nachtrag:
Da kommts auf son paar kleine Rechenfehler auch nicht an, wenn man durch die Seite das Prinzip versteht.

Ich versteh ehrlich gesagt echt nicht wieso hier so viele herummeckern - diese Seite erklärt zumindest die Lineare Algebra perfekt und, was viel wichtiger ist, sehr sehr sehr sehr sehr viel einfacher als es die meisten Lehrer können!
Außerdem ist es übersichtlich sortiert und ich kann jedes Thema mit 2 klicks nachschlagen - genialer gehts nichtmehr. Perfekt als Vorbereitung für Klausuren und auch das Abi (finde ich).

Hier wurde zwar zigmal wg dem sinus gemeckert, aber mich stört eher, dass ein kreuzprodukt im Rn nicht möglich ist. die allgemein gehaltene gerade und die ebene sollten im R3 definiert sein... trotzdem vielen dank für die herleitung!

die seite ist echt super.aber zur bestimmung von dem winkel zwischen gerade und eben muss man den sin nehmen.^^

suuuuuuuper..... daumen hoch :) ohne die tolle seite wär ich aufgeschmissen

echt super erklärt. ich find die ganze seite toll

Mann kann aber auch anstatt arccos auch arcsin nehmen. Dann muss man nicht mehr 90°-Winkel mehr rechnen.

Hey deine Seite ist echt hilfreich.

Tausend Dank

PS: Ignorier die ganzen Nörgler und mach weiter so :-)

Ehrlich gesagt keine Hilfeseite, die sich mit Ruhm gekleckert!

Rechenfehler, umständlicher Rechenweg und Rechtschreibfehler!

Kann man hier nciht gleich mit Sinus rechnen? Da mir das mit den 90' recht umständlich erscheint

Die Berechnung ist schon so richtige, aber wenn man gleich den Sinus(a) nimmt, muss man nicht erst 90°-Cosinus(a) rechnen.

Regel hierbei: gleiche Objekte mit Cosinus (Gerade/Gerade ; Ebene/Ebene ) und unterschiedliche mit dem Sinus (Gerade/Ebene).

nöö..is kein fehler..da man 90grad - den errechneten winkel nimmt...is das schon richtig so....würde man mit sinus rechnen..dann müsste man den errechneten winkel nicht mehr von 90grad subtrahieren

Aufgepasst!

Es ist ein kleiner Fehler bei der Berechnung.

Bei der Winkelberechnung von einer Geraden und einer Ebene nimmt man den Sinus nicht den Cosinus. Wichtig!!!

Winkelfunktionen

Das wüsste ich auch gerne!!!

hey barack,

stimmt, aber warum ist das so? ich erkenn das nicht sofort und im tafelwerk steht nischt drin...

Statt 90°-phi empfiehlt es sich, anstelle des Kosinus den Sinus zu verwenden. Am rechtwinkligen Dreieck mit gamma=90° erkennt man sofort dass cos beta = sin alpha gilt, was nichts anderes ist als cos 90°-alpha.

Jo, verstehe das Ende der Rechnung auch nicht...

also ich kann mir nicht helfen aber der cosinus von 0.088 ist immer 0.996

Man könnte es auch viel einfacher machen.

Wenn man davon ausgeht, dass die Gerade die Ebene schneidet, dann nimmt man einfach einen der Richtungsvektoren der Ebene zur Hand und kommt ohne die langwierige Dauer der Bildung des Vektorprodukts und anschließendem Abziehen der 90°, deutlich schneller ans Ziel.

Außerdem benutzt man sin und nicht cos.

Vielleicht sollte man dennoch ein Beispiel oder eine Anmerkung mit dem Sinus verwenden, da in den meisten Formelsammlungen auch der Sinus für die Formel eines Schnittwinkenles zwischen Gerade und Ebene verwendet wird.

Denn wenn man in der Klausur stur die Formel mit dem Sinus aus der Formelsammlung rausschreibt und daran denkt den errechneten Winkel von 90° abzuziehen hat ein völlig falsches Ergebnis :S

Sie haben zwar nicht den Sinus verwendet, dafür aber am Ende Pi - Ergebnis genommen. Das kommt aufs Selbe raus...

Der Winkel zwischen Ebene und einer Geraden, die diese Ebene schneidet lässt sich doch mit dem SINUS und nicht mit dem COSINUS berechen oder?

Ich kenne die Faustregel:

2 Gleiche (Ebene&Ebene oder Gerade&Gerade) : Cosinus

2 Unterschiedliche (Ebene&Gerade) : Sinus

? -5+12-5 = 2 alles korrekt

...(phie) aufgestellt wurde, wird vom dritten zum vierten Schritt aus der 12 eine 2 im Zähler. Falls da was gekürzt wird, und ich das übersehen habe würde ich mich freuen, wenn mir das jemand noch erläutern würde. Ansonsten: cool!

Auch ein Lob für die Seite. hat mir sehr geholfen, aber ich fürchte, ich habe einen kleinen Fehler gefunden. Im letzten Schritt, nachdem die Gleichung für cos

Wenn man die Zusammenhänge zwischen sin und cos kennt, kann man auch Sinus nutzen, statt am Schluss die 90° abzuziehen.

Aber alle, die hier skeptisch fragen, sollten lieber den Kosinus nutzen, statt Formeln auswendig zu lernen.

Erstmal ein dickes Lob für diese Seite. Besser kann man analytische Geometrie nicht erklären. Aber bei dem Thema Analysis fehlt noch Integralrechnung, soweit ich weiß..

Den Sinus muss man nicht zwangsweise verwenden, man kann auch den Cosinus benutzen. Das passt dann zu der typischen Winkelformel (hier unter "Einleitung") und man muss sich nicht eine extra-Formel merken.

Ja, da gehört der sinus hin.

Bei dem Beispiel handelt es sich doch um die Winkelbestimmung zwischen einer Geraden und einer Ebene, müsste dann nicht statt cos der sin genommen werden?

Hi,

im Zähler ist dein Ergebnis immer positiv, dennoch verwendest du bei deinen Formeln Betragstriche (nicht für die Längen [Das ist klar], sondern im Zähler für das skalarprodukt)bei |vek a * vec b|

Danke für den Hinweis.

Das Ergebnis sollte nun korrekt sein.

Hi,

hat sich da vielleicht ein kleiner Fehler eingeschlichen? Muss der im Nenner verwendete Richtungsvektor der Gerade nicht eigentlich (5;6;5) lauten?

Mal so ne Anmerkung. Mann kann auch einfach den Sinus von phi nehmen. Dann kommt man direkt auf die 4 Grad und braucht nicht noch umrechnen...

Also sinus benutzt man nur bei Gerade - Ebene