Grundlagen (Stochastik)

Schnellübersicht

Zufallsexperiment: Beliebig oft wiederholbarer Vorgang dessen Ausgang vom Zufall abhängt.
Beispiel: Münzwurf, Würfelwurf
Elementarereignis: Ein mögliches Ergebnis eines Zufallsexperiments.
Beispiel: Wappen beim Werfen einer Münze; die Augenzahl 5 beim Werfen eines Würfels.
Ereignis: Eine Menge von Elementarereignissen
Beispiel: „alle geraden Zahlen” beim Würfelwurf
Ergebnisraum (Ω): Eine Menge, welche alle Elementarereignisse eines Zufallsexperiments enthält.

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1. Einleitung

Dies ist der Einführungsartikel zum Thema „Stochastik”. Er soll einen groben Überblick über das Thema geben und die wichtigsten Begriffe erläutern auf denen alle nachfolgenden Artikel aufbauen. Zu betonen ist, dass die Begriffe „Zufallsexperiment”, „Elementarereignis” und „Ergebnisraum” besonders wichtig sind und daher im Kopf behalten werden sollten. (Alle nachfolgenden Artikel verwenden diese Begriffe.)

2. Begriff Stochastik

Der Begriff Stochastik fasst drei Bereiche zusammen:

Wahrscheinlichkeitstheorie: Versucht, Wahrscheinlichkeiten mathematisch zu erfassen und damit zu rechnen.
Deskriptive Statistik: Dient zur Beschreibung von gesammelten Daten, z. B. hilft sie bei der Analyse der Ergebnisse von Volkszählungen.
Induktive Statistik: Bietet Methoden, um aus verhältnismäßig kleinen Stichproben Erkenntnisse für das „große Ganze” zu gewinnen. Ein mögliches Beispiel sind Wahlumfragen, bei welchen nur wenige Personen befragt werden, deren Ergebnisse aber dennoch die Meinung aller widerspiegeln sollen.

Typische Fragen der Stochastik sind beispielsweise:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fall A eintritt?
Wie viel verliert man langfristig beim Lottospielen?
Wenn eine Person zu Gruppe A gehört, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch zu Gruppe B gehört?
Wie viele Möglichkeiten muss jemand durchgehen, um ein Passwort zu erraten?

3. Zufallsexperiment

Als Zufallsexperiment wird ein Vorgang bezeichnet, für den folgendes gilt:

Er muss beliebig oft wiederholbar sein.
Er muss unter klar definierten Rahmenbedingungen stattfinden.
Der Ausgang jeder einzelnen Wiederholung muss zufällig sein (man sagt auch: nicht determiniert).

Beispiele sind etwa Münzwurf und Würfelwurf.
Beim Münzwurf hat jede Seite eine Wahrscheinlichkeit von $Formel-Code: \frac{1}{2}$ getroffen zu werden. Das Ergebnis jeder Wiederholung ist daher zufällig. Genauso kann man die Münze so oft werfen wie man will, ohne dass sich die Wahrscheinlichkeit einer Seite ändert.

Zufallsexperiment = beliebig oft wiederholbarer Vorgang dessen Ergebnis vom Zufall abhängt

4. Elementarereignis, Ereignis und Ergebnisraum

Führt man eine einzelne Wiederholung eines Zufallsexperiments durch, dann wird deren Ausgang als „Elementarereignis” bezeichnet.
Beispiel 1: Der Wurf eines Würfels kann die Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 ergeben. Jede einzelne dieser Augenzahlen ist ein Elementarereignis. Beispielsweise könnte man das Elementarereignis „4” würfeln.
Beispiel 2: Der Wurf einer Münze kann entweder Wappen oder Zahl ergeben. Beides sind jeweils Elementarereignisse.

Ein oder mehrere Elementarereignisse können nun ein Ereignis bilden.
Beispiel: Wir legen für einen Würfelwurf zwei Ereignisse fest mit $Formel-Code: G_{erade}=\{2, 4, 6\}$ und $Formel-Code: U_{ngerade}=\{1, 3, 5\}$ . Wenn nun eine 2, 4 oder 6 gewürfelt wird, dann hat das Zufallsexperiment das Ereignis $Formel-Code: G_{erade}$ ergeben und entsprechend das Ereignis $Formel-Code: U_{ngerade}$ wenn eine 1, 3 oder 5 gewürfelt wird.
Hinweis: Man kann auch ein Ereignis aus null Elementarereignissen bilden (leere Menge). Das wird dann als unmögliches Ereignis bezeichnet (Erklärung folgt weiter unten).

Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments werden als Elementarereignisse bezeichnet. Elementarereignisse sind nicht weiter unterteilbar.
Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen.

Zufallsexperiment ergibt Elementarereignis ist Teilmenge von Ereignis(sen)

Zufallsexperiment => Elementarereignis => Ereignis

Zufallsexperiment, Elementarereignis und Ereignis in der Übersicht

Die Menge aller Elementarereignisse wird als Ergebnisraum (oder auch Ergebnismenge) bezeichnet und mit dem griechischen Buchstaben Omega (Ω) abgekürzt.
Beispiel 1: Für den Würfelwurf gilt Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Beispiel 2: Für den Münzwurf gilt Ω = {Wappen, Zahl}.

Ω = Alle Elementarereignisse

Weitere Hinweise:

Das Elementarereignis wird auch als Ergebnis bezeichnet. (Daher der Name „Ergebnisraum” statt „Elementarereignisraum”.)
Besondere Ereignisse sind das „unmögliche Ereignis” und das „sichere Ereignis”. Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge (∅). Es ist unmöglich, da jedes Zufallsexperiment ein Elementarereignis ergibt, das unmögliche Ereignis jedoch voraussetzt, dass das Zufallsexperiment kein Elementarereignis ergibt.
Das sichere Ereignis hingegen enthält alle Elementarereignisse und ist daher mit dem Ereignisraum (Ω) identisch. (Beim Würfelwurf wäre das sichere Ereignis z. B. {1, 2, 3, 4, 5, 6} — und eine dieser Würfelzahlen muss jeder Würfelwurf ergeben.)
Genauso wie es einen Ergebnisraum bzw. eine Ergebnismenge gibt, gibt es auch eine Ereignismenge. Diese enthält alle möglichen Ereignisse. Weiter oben wurden als Beispiel zum Würfelwurf die Ereignisse „gerade Augenzahl” ({2, 4, 6}) und „ungerade Augenzahl” ({1, 3, 5}) aufgestellt. Die Ereignismenge würde diese beiden Ereignisse enthalten, sowie zudem das sichere Ereignis ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) und das unmögliche Ereignis ({} bzw. ∅).

4.1. Mathematischere Erläuterungen

Der nachfolgende Abschnitt erklärt die zuvor erwähnten Begriffe etwas mathematischer. Für das Verständnis ist er jedoch nicht zwingend notwendig.
Jede Durchführung eines Zufallsexperiments ergibt ein Elementarereignis

aus der Menge aller möglichen Elementarereignisse des Zufallsexperiments: $Formel-Code: e_x \in \{e_1, e_2, ..., e_n\}$ , wobei n die Anzahl der möglichen Elementarereignisse ist (n entspricht der Mächtigkeit der Menge aller Elementarereignisse, also n = |Ω|). Der Ergebnisraum ist wiederum die Menge aller Elementarereignisse $Formel-Code: \Omega = \{e_1, e_2, ..., e_n\}$ .
Jedes Ereignis E ist eine Teilmenge der Ergebnismenge ( $Formel-Code: E \subseteq \Omega$ ), da jedes Elementarereignis aus E auch in der Ergebnismenge enthalten ist ( $Formel-Code: e \in E \Rightar e \in \Omega$ ). Es gilt für das unmögliche Ereignis $Formel-Code: E_{unmoeglich} = \empty$ und für das sichere Ereignis $Formel-Code: E_{sicher} = \Omega$ .

5. Urnenmodell

Dieser Abschnitt dient nur als Einführung. Das Urnenmodell, sowie die Konzepte „Ziehen mit Zurücklegen” und „Ziehen ohne Zurücklegen” werden später noch genauer erläutert.

Urnenmodell

Der Vollständigkeit halber sei hier schon mal das Urnenmodell erwähnt. Dieses wird — ähnlich wie der Münzwurf und der Würfelwurf — als Beispiel zur Verbildlichung von Zufallsexperimenten eingesetzt. Grundsätzlich muss man sich für dieses ein Gefäß vorstellen, in dem sich mehrere Kugeln befinden. Diese können etwa unterschiedliche Farben haben oder auch mit Zahlen bedruckt sein (je nachdem was man für das Beispiel gerade braucht). Es wird dann versucht zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine ganz bestimmte Kugel herauszuziehen (z. B. eine rote Kugel, wenn 3 rote, 4 schwarze und 2 gelbe im Sack sind). Das Gefäß wird auch als Urne bezeichnet, daher der Name Urnenmodell. Das Urnenmodell hat gegenüber dem Münzwurf und den Würfelwurf den Vorteil, dass es auch recht komplexe Zufallsexperimente verbildlichen kann.

Mit Hilfe des Urnenmodells wird häufig gezeigt, dass es Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten hat, ob (bezogen auf das Urnenmodell) die Kugeln herausgenommen und dann in die Urne zurückgelegt werden, oder ob man stattdessen die Kugeln zieht und danach außerhalb der Urne belässt. (Wobei es nur Einfluss hat, wenn man plant mehrmals zu ziehen.) Man spricht auch vom Ziehen mit zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen.
Beispiel: Beim Lotto wird jede Zahl nur maximal ein mal gezogen, daher handelt es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Würden die Kugeln nach dem Ziehen zurückgelegt werden, dann könnte jede Zahl mehrmals gezogen werden. Entsprechend gäbe es wesentlich mehr mögliche Zahlenreihen (z. B. auch 1, 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 2, 2, 2, 2, 2) und die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen würde sinken.

6. Quiz

Welche dieser Aussagen passt zum Begriff „Zufallsexperiment”?

Die Durchführung muss wiederholbar sein.

Die Wahrscheinlichkeiten müssen sich nach jeder Durchführung ändern.

Das Experiment darf nur ein mal wiederholt werden.

#6949

Was sind die Bestandteile von Ereignissen?

Elementarereignisse

Zufallsexperimente

Ergebnisräume

#6950

Angenommen man führt ein Zufallsexperiment mit einem Würfel durch auf dessen Seiten folgende Zeichen aufgedruckt sind: A, B, X, Y, 9, 10. Wie viele Elementarereignisse hat das Experiment?

#6951

Was repräsentiert das Zeichen Omega (Ω)?

Urnenmodell

Ereignis

Elementarereignis

Ergebnisraum

#6952

7. Links

Der Begriff Stochastik: Uni Karlsruhe, Wikipedia (siehe auch: Wahrscheinlichkeitstheorie Deskriptive Statistik und Induktive Statistik)
Geschichte der Stochastik
Zum Begriff Zufallsexperiment: Matheprisma (kurz und prägnant), Brinkmann (ausführlich), OberPrima (Video)
Zu den Begriffen Ergebnis/Elementarereignis und Ereignis: Definition des Begriffs Ereignis, OberPrima

Grundlagen (Thema: Stochastik)

Artikel zur Erläuterung der Grundlagen des Themas Stochastik. Beschrieben wird, was Stochastik ist und was die Begriffe Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignis und Ereignisraum bedeuten. Zudem wird eine Beschreibung des Urnenmodells gegeben.