1. Einleitung
Als Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bezeichnet man den "Neigungswinkel" der Geraden auf der Ebene. Schneidet eine Gerade eine Ebene, dann gibt es logischerweise immer zwei Winkel: Einen größeren und einen kleineren. Addiert ergeben beide Winkel 180°. Als Neigungswinkel bezeichnet man von den beiden Winkeln den kleineren. Nur wenn die Gerade orthogonal (also senkrecht) zur Ebene liegt, dann erhält man zwei Winkel, die beide beide Winkel 90°, ist diesem Fall ist logischerweise auch der Winkel zwischen Gerade und Ebene 90°.
Will man den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ausrechnen, dann bietet es sich an, einfach den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden zu wählen. Da der Normalenvektor aber orthogonal zur Ebene liegt ist der Winkel zwischen dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor nicht gleich mit dem Winkel zwischen Gerade und Ebene. Das ist aber nicht sonderlich schlimm, denn man kann einfach 90° - (Winkel zwischen Gerade u. Normalenvektor) rechnen. Das ergibt dann den Neigungswinkel.
2. Formel
Allgemein:
Um den Winkel zwischen Gerade und Ebene zu errechnen braucht man einen Normalenvektor. Ist die Ebene in Koordinatenform oder Normalenform gegeben, dann kann man den Normalenvektor einfach aus der Ebenengleichung entnehmen. Ist die Ebene in Parameterform gegeben (wie hier), dann muss man den Normalenvektor erst selbst errechnen. Z.B. mit dem Vektorprodukt:
Hat man den Normalenvektor, dann rechnet man Normalenvektor mal Richtungsvektor der Geraden (Skalarprodukt), geteilt durch die miteinander multiplizierten Beträge beider Vektoren (also deren Längen). Das Ergebnis ist der Cosinuswert des Winkels. Mit einem Taschenrechner kann man den dann in eine Gradzahl umrechnen. Danach muss man noch 90° minus Winkel Phi rechnen, sonst hat man den Winkel zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor und nicht zwischen Richtungsvektor und Ebene.
Beispiel:
Gegeben sind Gerade g und Ebene E. Es liegt also schon der Richtungsvektor der Geraden vor, der Normalenvektor der Ebene muss aber noch bestimmt werden. Dazu muss man das Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene bilden:
Das Ergebnis ist also etwa 5,05° (90°-84,949°).
3. Anmerkungen
- Bevor man den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ausrechnet, bietet es sich an zu überprüfen, ob sich Ebene und Gerade überhaupt schneiden.
- Erhält man bei der Rechnung einen Winkel von 0° zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor, dann liegt die Gerade orthogonal (also senkrecht) zur Ebene. Das geht auch aus dem nächsten Schritt hervor, denn 90°-0° sind bekanntlich 90°.
Kommentare (44)
Von neu nach altWir bitten um ihr Verständnis.
α liegt zwischen Gerade und Ebene.
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Oben wird der Winkel Phi errechnet, der zwischen dem Richtungsvektor der Gerade und dem senkrechten Vektor der Ebene liegt (dieser wurde mit dem Vektorprodukt errechnet).
Deshalb ist zuletzt noch ein Rechenschritt nötig (α = 90° - φ).
Den Winkel zwischen 2 Vektoren errechnet man immer mit dem Kosinus. Zum Vergleich: Formel siehe bei Skalarprodukt/Hinweise.
Man kann aber benutzen, dass für jeden Winkel gilt:
Cos(φ) = Sin(90° - φ)
Also mit α = 90°- φ eingesetzt:
Cos(φ) = Sin(α)
Deshalb findet man in Formelsammlungen direkt den Sinus, um sich den letzten Zwischenschritt zu sparen.
^ <---- Vektorprodukt | | | ____|______ <- Ebene^ ´ <- Richtungsvektor der Geraden | * ´ | ´ | ´ ** ____|´______* Hier liegt Phi
** Hier liegt der gesuchte Winkel Alpha
mit sinus ist es einfacher
Also ist es korrekt.
40-45=-5; 50-40=10;45-50=-5
RICHTIG GEILE SEITE ALTERR!
da muss sinus hin, anstatt cosinus
Da kommts auf son paar kleine Rechenfehler auch nicht an, wenn man durch die Seite das Prinzip versteht.