Winkel zwischen Ebene und Ebene (Vektorrechnung)

1. Einleitung

Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich zu dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Das heißt, dass man nur den Winkel zwischen den Normalenvektoren ausrechnen muss, um an den Winkel zwischen den beiden Ebenen zu kommen.

Wiederholung: Normalenvektor

Der Normalenvektor ist derjenige Vektor, der orthogonal (also senkrecht) zu einer Ebene liegt. (Da es davon unendlich viele Vektoren gibt kann man sich einfach einen aussuchen).
Liegt eine Ebene in der Parameterform vor, dann kann man den Normalenvektor bilden, indem man das Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren bildet.

2. Formel

Allgemein:

E1: vektor x=(s_11, s_12, ..., s_1n) + lambda*(a_11, a_12, ..., a_1n) + my*(b_11, b_12, ..., b_1n), n_1=(n_11, n_12, ..., n_1n)

E2: vektor x=(s_21, s_22, ..., s_2n) + lambda*(a_21, a_22, ..., a_2n) + my*(b_21, b_22, ..., b_2n), n_2=(n_21, n_22, ..., n_2n)

cos(phi)=(n_1*n_2)/(betrag(n_1)*betrag(n_2))

In der letzten Formel (Bruch) errechnet man den Zähler mit Hilfe des Skalarprodukts und den Nenner mit der Länge der beiden Vektoren. Das Ergebnis ist der Cosinuswert des Winkels, den man dann mit einem Taschenrechner zur Gradzahl des Winkels umrechnen kann. Ist der Winkel, der sich dadurch ergibt, größer als 90°, dann muss man 180° minus errechneter Winkel rechnen (siehe Anmerkungen).

Beispiel:

$E_1: \hspace8 \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1\2\3\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 6\7\8\ \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 9\10\11\\end{array}\right) \hspac3,\hspace{15} \vec{n_1}=\left(\begin{array}{c}-1\2\-1\\end{array}\right)$

$E_2: \hspace8 \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3\3\3\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1\2\3\ \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 4\-4\4\\end{array}\right) \hspac3,\hspace{15} \vec{n_2}=\left(\begin{array}{c}5\2\-3\\end{array}\right)$

$Formel-Code: cos\varphi \hspace3=\hspace3 \frac {\vec{n_1} \hspace4\cdot\hspace4 \vec{n_2}} {\left|\vec{n_1}\right| \hspace4\cdot\hspace4 \left|\vec{n_2}\right|} =\frac {2} {\sqrt{1+4+1} \hspace4\cdot\hspace4 \sqrt{25+4+9}} \\\\\\\\ \hspace{40} =\frac {2} {\sqrt{228}} \approx 0,1325 \hspace9 \Rightarrow \hspace9 \varphi \approx 82,39^\circ$

3. Anmerkungen

Schneiden sich zwei Ebenen und soll man den Winkel zwischen diesen Ebenen errechnen, dann ist immer nach dem kleinsten Winkel gefragt (sofern nicht anders angegeben). Durch diese Regel kann der Winkel nie größer als 90° sein. Manchmal erhält man allerdings durch die Rechnung einen Winkel, der größer als 90° ist. In diesem Fall rechnet man einfach 180° minus dem errechneten Winkel. Dadurch erhält man den kleineren Winkel.

Kommentare (16)

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Wir bitten um ihr Verständnis.

Der Normalenvektor stimmt doch hinten und vorne nicht oder ?
Ich mein 7*11 - 8*10 ergibt für mich nicht -1 :S ?!

Danke Danke =) =) =)

Bin grad vorm Abi und die "Anmerkung" hat mir grad nen Stein vom Herzen gelöst.

"Schneiden sich zwei Ebenen und soll man den Winkel zwischen diesen Ebenen errechnen, dann ist immer nach dem kleinsten Winkel gefragt (sofern nicht anders angegeben)."

Danke =)

@ Hanno

nein ist schon richtig so, für das Skalarprodukt kann man entweder einen einfachen Punkt schreiben oder in spitze Klammern. Beides ist das selbe. Die Komponentenweise Multiplikation von zwei Vektoren ist doch gar nicht definiert, oder?

rein formal:

ihr schreibt die bezeichnung für die skalarmultiplikation immer falsch

so wie ihr es macht multipliziert ihr nur die vektoren, alsoe die einzelnen komponenten miteinander.

<vektor1,vektor2> ;) so wirds gemacht im zähler;)

Also ist ganz einfach du teilst ja durch die Längen bzw. die Beträge und der Betrag ist halt die Wurzel der einzelnen Komponenten zum Quadrat. Such einfach mal nach Betrag des Vektors. Das ist selbst bei Wiki gut erklärt.

hey ... ich habe mal eine generelle Frage zu der Winkelberechnung: ich verstehe immer noch nicht ganz, warum im Nenner die Wurzel steht.. Könnte mir das vielleicht jemand erklären?

Deine Rechnung stimmt, aber bei den beiden -4 nicht. Das ist jeweils -3 und somit kommst du auf den Vektor (-3|6-|-3). Ist gekürtzt: (-1|2|-1)

Sagt mal müsste der Normalenvektor in dem Beispiel bei E1 nicht (-4/6/-4) lauten?? ich meine 72-66 sind immer noch 6 und nciht 8...:-P

also wie auch hier zu lesen ist, multiplikationszeichen und skalarprodukt sind hier identisch und daher viel zu verwirrend für leute, die noch nicht viel mit dem skalarprodukt gerechnet haben. es wäre super, wenn ihr auch andere fehler wie vergessene betragstriche etc umändern könntet.

Im Zähler steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Das Skalarprodukt ihrer Beträge kann es nicht geben, weil ein Skalarprodukt immer nur eine Zahl, kein Vektor ist.

Vielleicht ist das Malzeichen ein wenig verwirrend, ich würde ihn hier benutzen: *

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Wie man den Winkel zwischen einer Ebene und einer Ebene errechnet

1. Einleitung

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