Vektorprodukt (Thema: Vektorrechnung)

Zwei Vektoren zu einem Normalenvektor verbinden

auch genannt: Kreuzprodukt



1. Einleitung





Das Thema Vektorprodukt wird in der Schule zumeist erst gegen Ende der Unterrichtsreihe "Vektorrechnung" durchgenommen.
Nichtsdestotrotz kann man es aber immer wieder verwenden, sobald regelmäßiger mit Ebenen gerechnet wird.
Mit Hilfe des Vektorprodukts lässt sich nämlich zu jeder Ebene schnell ein Normalenvektor vektor n finden, solange zwei Vektoren bekannt sind, die in der Ebene liegen (z.B. die beiden Richtungsvektoren in der Parameterform).

Das Vektorprodukt selbst ist also immer ein Vektor - anders als bei der Skalarmultiplikation, wo das Ergebnis immer ein Skalar ist.
Um das Vektorprodukt zu erhalten, benötigt man zwei Vektoren.
Man rechnet in diesem Fall


vektor a kreuz vektor b.


Sprich: Vektor a kreuz Vektor b.

Will man das Ergebnis des Vektorprodukts erhalten, so kann man rechnen


vektor a kreuz vektor b = betrag(vektor a)*betrag(vektor b)*sin(phi)*vektor e.


In diesem Fall wäre phi der Winkel, der von vektor a und vektor b eingeschlossen wird und vektor e der Einheitsvektor, der zu beiden Vektoren senkrecht liegt.

Klingt schwierig - isses auch. Aber zum Glück gibt es eine deutlich einfachere Formel, um das ganze auszurechnen, die auch nachfolgend vorgestellt wird.




2. Formel





Allgemein:

vektor a=(a1_a2_a3), vektor b=(b1_b2_b3)


vektor a x vektor b = (a2*b3 - a3*b2_a3*b1 - a1*b3_a1*b2 - a2*b1)

Hat man alle Rechnungen durchgeführt, so erhält man einen neuen Vektor.
Die Formel sieht auf den ersten Blick recht kompliziert aus, ist aber sehr leicht auszurechnen (nur Multiplikation und Subtraktion).
Das Merken der Formel ist dafür etwas schwieriger. Wie leicht zu erkennen ist, multipliziert man immer jeweils zwei Komponenten miteinander und zieht die Ergebnisse dann voneinander ab -
so erhält man stückchenweise in drei Rechenschritten die drei Komponenten des neuen Vektors.
Schaut man etwas genauer hin, dann kann man eine Reihe von Regelmäßigkeiten erkennen:

  • Es wird immer eine Komponente von Vektor a mit einer von Vektor b multipliziert - nie zwei Komponenten vom gleichen Vektor.
  • Lässt man die Indizes aussen vor, so gilt für jeden Rechenschritt a*b-a*b.
  • Betrachtet man die Indizes, dann sieht man, dass in jeden Rechenschritt nur zwei verschiedene Indizes auftauchen. Im ersten 2 und 3, im zweiten 3 und 1 und im dritten 1 und 2.
  • Die Indizes drehen sich in jedem Rechenschritt einmal um (z.B. im ersten 2, 3 dann 3, 2).


Daraus ergibt sich, dass man sich immer nur zwei der Indizes von jedem Rechenschritt merken muss.
Dann kann man die Formel der Gleichung ohne Indizes aufschreiben und kann diese danach eintragen:


vektor a x vektor b = (a*b-a*b_a*b-a*b_a*b-a*b)


Da die Indizes ja auf der rechten Seite vom Minus aus die gleichen sind, wie auf der linken Seite (nur umgedreht - also statt a2, b3 eben a3, b2),
reicht es völlig, sich alle Indizes der linken Seite zu merken und einzutragen. Die der rechten Seite ergeben sich dann ja durch umdrehen.
Man trägt also auf der linken Seite jeweils von links oben nach rechts unten ein: 2 33 11 2.
Dadurch ergibt sich folgende Formel:


vektor a x vektor b = (a2*b3-a*b_a3*b1-a*b_a1*b2-a*b)


Und nun durch umdrehen der Indizes:


vektor a x vektor b = (a2*b3-a3*b2_a3*b1-a1*b3_a1*b2-a2*b1)



Fertig! Alles was man sich also für die Formel letztlich merken muss ist: 3 Mal a*b-a*b, Indizes 2 33 11 2 links eintragen, Indizes rechts umdrehen.




Beispiel:

vektor a=(1_2_3), vektor b=(4_5_6)


Um das Vektorprodukt auszurechnen, schreiben wir nun zuerst nochmal unsere allgemeine Form der Formel hin (drei mal a*b-a*b, 233112, umdrehen):


vektor a x vektor b = (a2*b3 - a3*b2_a3*b1 - a1*b3_a1*b2 - a2*b1)


Nun brauchen wir nur noch die Komponenten aus vektor a und vektor b einzusetzen:


vektor a x vektor b=(2*6-3*5_3*4-1*6_1*5-2*4)=(-3_6_-3)





3. Nutzen des Vektorprodukts





Mit Hilfe des Vektorprodukts kann man sehr schnell Vektoren finden, die orthogonal (also senkrecht) zu zwei anderen Vektoren liegen.
Hat man nun eine Ebene in Parameterform gegeben, so hat man auch immer zwei Richtungsvektoren der Ebene gegeben. Wendet man das Vektorprodukt auf diese an,
so kann man schnell und einfach einen orthogonalen Vektor zu diesen bei Vektoren finden - und damit einen, der auch orthogonal zur Ebene liegt.
Den so gewonnenen Normalenvektor kann man z.B. für Lagebeziehungen oder Abstände verwenden, oder auch um einfach die Normalenform der Ebene zu errechnen.

Kommentare (23)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
Es gibt eine einfachere Rechenregel: a 1 und a 2 unter den Vektor a und b 1 und b 2 unter den Vektor b schreiben.

Dann ab a 2 jeweils dreimal kreuzweise!! rechnen: ( a 2 * b 3 - a 3 * b 2 / a 3 * b 1 - a 1 * b 3 / a 1 * b 2 - a 2 * b 1 )

Das System läßt sich doch wohl leicht merken
Stefan (Gast) #
Es muss noch unbedingt erwähnt werden, daß das Kreuzprodukt nur im Raum (R3) definiert ist, nicht in der Ebene.
Roderic (Gast) #
"Das Vektorprodukt selbst ist also immer ein Vektor - anders als bei der Skalarmultiplikation, wo das Ergebnis immer ein Skalar ist."



bei der Skalarmultiplikation kommt ein Vektor raus, hier ist wohl das Skalarprodukt gemeint gewesen!
Andy (Gast) #
Würde vllt noch ergänzen das der Betrag (Die Länge) des Normalvektors, also das Ergebnis des Kreuzproduktes, der Fläche des durch a und b aufgespannten Parallelogramms entspricht.



ansonsten gute arbeit!
werweis (Gast) #
Oder versuchs einfach mal mit der Zuhalteregel, also du hälst die ersten beiden Zeilen zu und multiplizierst dann die 2.te und 3te über Kreuz. So verfährt man auch bei der zweiten und dritten Zeile. Bei der Zeiten jedoch musst du am Anfang aaber unten anfangen. Naja ist jedoch ansichtssache welche einem mehr liegt ;)
Annonymus (Gast) #
Mann kann auch einfacher auf das Kreuzprodukt kommen:

wenn man beide Vektoren jeweils zweimal untereinander schreibt:

a1 b1

a2 b2

a3 b3

a1 b1

a2 b2

a3 b3



Wenn man jetzt die erste und die letzte Zeile streicht steht da nur noch:



a2 b2

a3 b3

a1 b1

a2 b2



Jetzt ließt man immer über kreuz, erst a2*b3, dann a3*b2, dann a3*b1 usw.

Hört sich jetzt komplizierter an, als es ist... ;) Eigentlich sehr einfach wenn man es mal raus hat.
ArnoNuehm (Gast) #
der vektor, der durch das vektroprodukt der beiden richtungsvektoren der ebene rauskommt, ist der normalenvektor! jedoch noch nicht die normalenform!
ArnoNuehm (Gast) #
Wenn du eine Ebene in einer Parametergleichung hast und das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bildest, enthälst du immer den Normalenvektor. Alternativ kann man (so werdet ihr es in der Schule gemacht haben) beide Richtungsvektoren mit dem selben Vektor n multipliziert haben, wobei das ergebnis 0 sein muss (Normalenvektor = 90° zu der Ebene).
Kecksdose (Gast) #
frage:

ist das vektorprodukt jetzt der normalenvektor (wir haben das gar nicht in der schule gemacht)? oder muss man von dem vektorprodukt nochmal den vektor suchen, der orthogonal dazu ist und das ist dann der normalenvektor?
ArnoNuehm (Gast) #
Wurde nicht in der mittleren Zeile des Kreuzproduktes (hier = "Vektorprodukt") vergessen, das Vorzeichen zu ändern?



Sprich...

(a2*b3 - a3*b2)

-(!)(a1*b3 - a3*b1)

(a1*b2 - a2*b1)



... ?
Gandalf der Graue (Gast) #
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