1. Einleitung
Die Beschreibungen "lineare Abhängigkeit" und "lineare Unabhängigkeit" erklären, wie Vektoren im Vergleich zu anderen Vektoren ausgerichtet sind. Vektoren können voneinander linear abhängig oder linear unabhängig sein. Schwammig (und ganz unmathematisch!) formuliert, sind voneinander linear abhängige Vektoren untereinander ähnlicher als voneinander linear unabhängige - zumindest wenn man nur die Richtung betrachtet.
2. Mathematisches Vorgehen
Um herauszufinden, ob mehrere Vektoren voneinander linear abhängig sind, kann man sich die Frage stellen, ob sich mindestens einer der Vektoren durch die anderen darstellen lässt. Das heißt, dass man aus einer Menge von mehreren Vektoren einen auswählt; dieser muss sich nun errechnen lassen, indem man alle übrigen Vektoren jeweils mit einem beliebigen Skalar (z.B. 1 oder 10 oder 17,523) multipliziert und dann miteinander addiert.
Mit zwei Vektoren ist dies am leichtesten:
Beispiel 1:
Da sich Vektor a durch Vektor b darstellen lässt, indem man Vektor b mit -0,5 multipliziert, sind beide Vektoren voneinander linear abhängig.
Beispiel 2:
Hier lässt sich Vektor a nicht durch Vektor b darstellen (man kann kein einheitliches x finden). Daher sind Vektor a und Vektor b voneinander linear unabhängig.
Um sich lästige Mehrfachprüfungen zu ersparen (bei mehr als 2 Vektoren) kann man auch einfach alle Vektoren in einer Linearkombination mit 0 gleichsetzen:
Erhält man eine Lösung bei der nicht
bis 
alle gleich 0 sind, also bei der mindestens ein a ungleich 0 ist, so sind die Vektoren voneinander linear abhängig. Erhält man nur die Lösung ...=0, was man auch die "Triviallösung" (trivial=einfach) nennt, so sind die Vektoren voneinander linear unabhängig.3. Merkregeln
) sind drei Vektoren immer voneinander linear abhängig.
) sind vier Vektoren immer voneinander linear abhängig.
Kommentare (15)
Von neu nach altWir bitten um ihr Verständnis.
http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/lineare_abhaengigkeit/LineareAbhaengigkeit_.htm
dort ist es etwas ausführlicher beschrieben...auch mit Skizzen.
Trotzdem ein großes Lob, an die Macher von Rither.de.
-komisch, erscheint mir irgendwie nicht logisch. Ich dachte genau andersherum.
In der Ebene sind drei Vektoren immer vorneindaer linear abhängig, weil sie alle drei in einer Ebene liegen.
Darüber steht ja extra:
"Drei Vektoren sind immer dann voneinander linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene liegen (man sagt auch: wenn sie "komplanar" sind)."
Da alle drei Vektoren zu der Ebene parallel sind (also quasie draufliegen) und die drei Vektoren durch verschiedene Skalare alle so erweitert werden können, dass sie eine geschlossen Vektorkette bilden können, bedeutet das also, dass sie linear abhängig sind (in einer Ebene liegen)
Da das R2 selber einen Ebene ist, sind also die drei Vektoren immer auf einer Ebene.
Versuch mal in ein R2 Koordinatensystem einfach drei Vektoren zu machen und du erkennst, dass durch veränderung der Länge der Vektoren du alle drei zu einer geschlossen Vektorkette machen kannst.
Stimmt nur für den Fall, dass keiner der drei Vektoren kollinear zu einem weiteren Vektor ist.
Und im Raum das gleiche.
# Im Raum (R3) sind vier Vektoren immer voneinander linear abhängig.
Das verstehe ich nicht. Warum ist das so?