Gerade schneidet Ebene (Thema: Vektorrechnung)

1. Einleitung

Es gibt 3 mögliche Arten, wie Geraden und Ebenen zueinander liegen können. Aber nur bei in einem Fall gibt es einen richtigen Schnittpunkt:

• Gerade schneidet Ebene: Hier gibt es einen Schnittpunkt.
• Gerade liegt in Ebene: Hier gibt es keinen "richtigen" Schnittpunkt - sondern unendlich viele! Die ganze Gerade liegt in der Ebene, daher sind alle Punkte auf der Geraden Schnittpunkte.
• Gerade parallel zur Ebene: Kein einziger Schnittpunkt.

Um herauszufinden, welcher dieser drei Fälle vorliegt kann man den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene miteinander vergleichen. Danach müsste man auch noch einen Punkt der Geraden in die Ebene einsetzen.

Das tut man aber nicht, denn das dauert schon fast genauso lange wie einfach direkt die Rechnung auszuführen (und wenn man herausfindet, dass ein Schnittpunkt vorliegt, dann muss man sowieso rechnen).



Praktischerweise spiegeln sich auch alle drei möglichen Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade im Ergebnis der Rechnung wieder. Für jeden der drei Fälle bekommt man also ein typisches Ergebnis heraus durch das man sofort erkennen kann, welcher Fall vorliegt.

Zuersteinmal aber das grundsätzliche Vorgehen (also wie man beginnt):

Man benötigt neben der gegebenen Geraden auch eine Ebene. Die Ebene sollte in Koordinatenform gegeben sein. Ist sie das nicht, dann muss man sie dahin umrechnen, denn nur mit der Koordinatenform geht die Rechnung sehr einfach. Danach setzt man die Gerade einfach in die Ebenengleichung ein.







Wenn man das jetzt ausrechnet (nach dem Einsetzen), dann kommt man am Ende wieder auf die drei oben genannten Fälle zurück. Zuletzt muss dort nämlich irgendwas stehen in der Art ...=..., woraus man ableiten kann, ob es einen Schnittpunkt gibt, unendlich viele, oder gar keine:

• Variable=Wert: z.B. . Bekommt man ein Ergebnis mit einer Variablen und einem Wert für diese Variable heraus, dann liegt ein Schnittpunkt vor.
• x=x (wahres Ergebnis): z.B. 1=1, oder 17=17, oder 100=100. Ist das Ergebnis wahr, dann liegen unendlich viele Schnittpunkte vor. Die Gerade liegt also in der Ebene.
• x=y (unwahres Ergebnis): z.B. 1=2, oder 0=1, oder 12983=10. Ist das Ergebnis unwahr, dann gibt es keinen Schnittpunkt. Die Gerade und die Ebene liegen also parallel.

2. Beispiel: Gerade schneidet Ebene

Merkmale: Genau ein Schnittpunkt, das Ergebnis muss im Format Variable=Wert sein.

3. Beispiel: Gerade liegt in Ebene

Merkmale: Unendlich viele Schnittpunkte, das Ergebnis hat das Format x=x (wahre Aussage, z.B. 1=1 oder 7=7).

4. Beispiel: Gerade liegt parallel zur Ebene

Merkmale: Kein Schnittpunkt, das Ergebnis hat das Format x=y (unwahre Aussage, z.B. 1=2, oder 100=-100, oder 5=9873).