Normalenform (Thema: Vektorrechnung)

1. Einleitung

Die Normalenform wird grundsätzlich anders gebildet als die Parameterform. Wie ihr Name schon andeutet, spielt der Normalenvektor der Ebene eine große Rolle.

Die Theorie für die Normalenform ist folgende: Zeigt man mit einem Ortsvektor auf einen Punkt im Raum, so kann man zu diesem Ortsvektor beliebig viele orthogonale Vektoren finden. Lässt man alle diese Vektoren an dem Punkt starten, auf den der Ortsvektor zeigt, dann liegen all diese Vektoren in einer Ebene - und bilden damit eine.



Um die Normalenform einer Ebene zu bilden braucht man also nur:

• Einen Normalenvektor
• Einen Punkt in der Ebene (auf den der Ortsvektor dann zeigt)

Das ist schon alles. Alle anderen Vektoren, die man braucht, um z.B. auf einen bestimmten Punkt in der Ebene zu zeigen, ergeben sich einfach dadurch, dass sie senkrecht (also orthogonal) zum Normalenvektor sind.

2. Darstellung

allgemeine Darstellungsform:






Wobei hier jeder beliebige Punkt in der Ebene ist.
ist ein bereits definierter Punkt in der Ebene und ist der Normalenvektor der Ebene.

und müssen also festgelegt werden, damit die Ebene definiert ist. (Siehe auch die Bedingungen oben: ist der Punkt in der Ebene, ist der Normalenvektor der Ebene.)



Es wird hierbei ein Vektor zwischen und gebildet, der völlig variabel ist, da nicht bestimmt wird - zeigt ja schließlich auf jeden beliebigen Punkt auf der Ebene.

Dieser sich ergebende Vektor (aus und ) geht vom Punkt p aus und wird mit dem Normalenvektor der Eben multipliziert. Das Skalarprodukt aus diesem Vektor und muss 0 ergeben - die beiden Vektoren müssen also orthogonal zueinander liegen (siehe auch Orthogonalität).




Beispiel:







In diesem Beispiel ist der festgelegte Punkt in der Ebene . minus dem Ortsvektor zu diesem Punkt ergibt einen variablen Vektor (da x nicht klar definiert ist), der vom Punkt ausgeht. Dieser variable Vektor wird mit dem Normalenvektor der Ebene multipliziert. Das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren muss 0 ergeben. Erst dadurch wird der Vektor genügend eingeschränkt, um vom Punkt aus abzugehen und in der Ebene zu liegen, also senkrecht zum Normalenvektor.