Liegt ein Punkt in einer Ebene? (Thema: Vektorrechnung)

1. Einleitung

Wenn man mit Ebenen arbeitet, dann wird man sehr häufig herausfinden müssen, ob ein bestimmter Punkt in einer Ebene liegt. Das ist aber keine schwierige Aufgabe und in den meisten Fällen kann man die Antwort auf diese Frage schon in weniger als einer Minute gefunden haben. Es hängt aber auch davon ab, in welcher Form die Ebene gegeben ist:

• Koordinatenform: Rechnung geht am schnellsten
• Normalenform: Rechnung dauert geringfügig länger
• Parameterform: Rechnung benötigt deutlich mehr Zeit

Wenn möglich sollte man also immer die Koordinatenform wählen, sofern diese gegeben ist.

2. Allgemeines Vorgehen

In jeder Ebenenform gibt es einen Vektor, der auf jeden Punkt zeigt, der in der Ebene liegt. Üblicherweise:







Wenn dieser Vektor auf jeden Punkt zeigt, der in der Ebene liegt, was spricht dann dagegen, einfach mal für den zu überprüfenden Punkt einzusetzen? Genau, gar nichts! Und daher macht man auch genau das:

• Man hat einen Punkt von dem man wissen will, ob er in der Ebene liegt.
• Man bildet den Ortsvektor zu diesem Punkt.
• Man ersetzt mit diesem Ortsvektor.
• Dann wird überprüft, ob die Gleichung "aufgeht", also ob man ein wahres Ergebnis erhält. Ist das Ergebnis wahr, dann liegt der Punkt in der Ebene. Ansonsten liegt er nicht in ihr.

3. Beispiel: Parameterform

Wie auch weiter oben bereits gesagt, ist es bei der Parameterform noch am langwierigsten zu überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt.



Beispiel: Punkt liegt in Ebene

4. Beispiel: Normalenform

Schon deutlich besser geeignet für solch eine Rechnung ist die Normalenform. Auch hier setzt man einfach wieder für den Ortsvektor zum Punkt ein. Danach wird einfach ausmultipliziert. Ist das Ergebnis wahr, dann liegt der Punkt in der Ebene. Ist es nicht wahr, dann liegt er nicht in der Ebene.



Beispiel: Punkt liegt in Ebene










Beispiel: Punkt liegt nicht in Ebene

Die gesamte Rechnung ist nahezu identisch mit dem Beispiel für Punkt liegt in Ebene. Es wurde nur die x3-Koordinate von 3 auf 300 gesetzt, sodass der Punkt nicht mehr in der Ebene liegt.

5. Beispiel: Koordinatenform

Die Berechnung bei der Koordinatenform ist sehr vergleichbar zu der bei der Normalenform. Auch hier muss man prüfen, ob das Endergebnis ein wahres oder eine unwahres ist. Man kann sich aber die Berechnung des Skalarprodukts sparen, stattdessen besteht die ganze Rechnung nur aus ein bisschen Addition und Multiplikation. Daher ist es auch am einfachsten bei der Koordinatenform zu prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt.



Beispiel: Punkt liegt in Ebene








Beispiel: Punkt liegt nicht in Ebene