Symmetrie (Thema: Analysis)

1. Einleitung

Als weiteres Instrument, um den Verlauf von Graphen zu beschreiben, nutzt man die Untersuchung auf "Symmetrie".
Man unterscheidet dabei zwischen zwei Arten von Symmetrie:

• Achsensymmetrie
  Ist ein Graph achsensymmetrisch, dann kann man den Teil rechts oder links von der y-Achse an der y-Achse spiegeln und erhält wieder den gleichen Graphen. Die beiden Teile des Graphen links und rechts von der y-Achse verlaufen also genau gleich.
  
  
  Ein achsensymmetrischer Graph:
  
  
• Punktsymmetrie
  Der Graph kann an einem einzelnen Punkt gespiegelt werden und man erhält wieder den gleichen Graphen. In den meisten Fällen wird am Ursprung (0|0) gespiegelt.
  
  
  Ein punktsymmetrischer Graph:
  
  

2. Achsensymmetrie/Punktsymmetrie nachweisen

Die einfachste Möglichkeit, Achsen- oder Punktsymmetrie nachzuweisen, ist auf die Exponenten von x zu schauen. Sind alle gerade, dann liegt Achsensymmetrie vor. Sind alle ungerade, dann liegt Punktsymmetrie vor.
Beispielsweise wäre die Funktion


achsensymmetrisch, da alle Exponenten gerade sind.
Hingegen wäre die Funktion


punktsymmetrisch, da alle Exponenten ungerade sind.

edit: Die obere Gleichung lautete zuvor
.
Wie in den Kommentaren richtig angemerkt wurde wäre das nicht punktsymmetrisch (zum Ursprung!), da gilt und 0 ein gerader Exponent ist.

3. mathematisches Vorgehen

Vor allem später wenn man etwas vertrauter mit der Differentialrechnung ist, wird man eher dazu tendieren, das mathematische Vorgehen vorzuziehen. Für dieses gelten die nachfolgenden Regeln:

Ist
dann ist der Graph achsensymmetrisch.
(Sinngemäß: Es ist egal, ob man den x-Wert rechts oder links vom Ursprung aus einsetzt - man erhält immer den selben y-Wert.)

Ist
dann ist der Graph punktsymmetrisch in Bezug auf den Ursprung (in der Regel muss man in der Schule aber nur Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung feststellen).