1. Einleitung
Um den Verlauf eines Graphen besser in Worte fassen zu können gibt es die Regeln rund um die "Monotonie". Das Thema macht von seiner Spannung her zwar seinem Namen alle Ehre, ist aber zum Glück reichlich einfach und kommt im Grunde ohne Rechnungen aus.
Man unterscheidet bei Graphen im wesentlichen zwischen zwei Verläufen (zumindest im Bereich der Monotonie):
- fallend
- steigend
Es werden weiterhin die Begriffe "monoton" und "streng monoton" verwendet. Wie diese bereits andeuten, fällt oder steigt ein "streng monotoner" Graph gleichmäßiger als ein Graph, der nur "monoton" ist.
2. monoton steigend/fallend
Ein Graph ist per Definition immer dann monoton steigend, wenn seine Ableitung nicht negativ wird. Setzt man also in die Funktion eines Graphen einen x-Wert
(Beispiel) monoton steigend: 1, 2, 5, 7, 7, 7, 9, 15, 15, 16...
(Beispiel) monoton fallend: 100, 98, 67, 67, 44, 32, 11, 9...
Genauso wie bei streng monoton steigend/fallend gilt auch hier, dass "monoton steigend/fallend" nicht zwangsweise für den ganzen Graphen gelten muss. Man kann auch sagen: von x=2 bis x=15 ist er der Graph monoton steigend. Für x>15 ist er monoton fallend, oder ähnliches.
3. streng monoton fallend/steigend
"Streng monoton fallend/steigend" ist nahezu das gleiche wie "monoton fallend/steigend". In diesem Fall dürfen aber zwei aufeinanderfolgende Werte nicht gleich sein. Der Graph muss also absolut konstant steigend bzw. seine Ableitung darf nie kleiner oder gleich Null sein.
(Beispiel) streng monoton steigend: 1,2,3,4,5,6,7,8 oder auch 1, 5, 18, 19, 100, 1172, 1199...
(Beispiel) streng monoton fallend: 17, 16, 15, 2, -1, -2, -8...
Auch hier gilt, dass auch einzelne Teile eines Graphen streng monoton steigend/fallend sein können. Z.B. von x=5 bis x=17 oder ähnliches.
4. Anwendung und Finden von Monotonie
Am einfachsten kann man sich ein Bild von der Monotonie machen indem man eine kurze Skizze der Funktion anfertigt. Dann hat man schnell einen Eindruck davon gewonnen, wie der Graph verläuft.
Für das genaue rechnerische Vorgehen benötigt man aber trotzdem die Ableitung der Funktion. Diese muss man zunächst gleich Null setzen. Danach muss man überprüfen, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Dadurch erfährt man, ob die Steigung von positiv zu negativ oder umgekehrt wechselt, also ob der Graph ab einem Punkt nicht mehr steigt, sondern fällt (bzw. umgekehrt). Findet kein Vorzeichenwechsel statt, dann liegt nur eine monotone Steigung bzw. ein monotones Fallen vor.
Wie man mitunter leicht erkennen kann, ist das Vorgehen nahezu identisch mit dem Suchen nach Hoch- und Tiefpunkten. Das ist ja auch logisch: Ein Graph steigt/fällt immer monoton oder streng monoton bis er auf einen Hochpunkt/Tiefpunkt trifft. Dann wechselt er von steigen auf fallen oder umgekehrt.
Also: Immer nach Hochpunkten/Tiefpunkten suchen, Skizze anfertigen und der Rest ist Logik. Liegt ein Sattelpunkt in einer streng monotonen Phase vor, dann ist diese nicht mehr "streng monoton" sondern nur noch "monoton" steigend/fallend (da an dieser Stelle die Steigung gleich 0 ist).