Ableitung (Thema: Analysis)

1. Einleitung

Mit Hilfe einer sogenannten Ableitung bestimmt man, wie groß die Steigung eines Graphen an einem ganz bestimmten Punkt ist. So etwas kann man auch bei Geraden machen, bloß ist bei diesen die Steigung an allen Punkten gleich. Bei einem Graphen ist sie an den meisten Punkten verschieden.

In der Theorie kann man diese Steigung errechnen, indem man sich zwei Punkte des Graphen nimmt, die unendlich nah beieinander liegen - aber eben nur beieinander und nicht aufeinander. Würden sie nämlich aufeinander liegen, dann hätte man logischerweise keine Steigung. Würden sie hingegen ein gutes Stück auseinander liegen, dann wäre die Angabe für die Steigung zu ungenau (der Graph kann ja zwischen den beiden Punkten die unmöglichsten Veränderungen durchmachen).

Errechnet man die Steigung zwischen diesen beiden unendlich nah beieinander liegenden Punkten (Berechnung wie bei einer Geraden), dann kommt man auf die Bruch
Diesen Bruch nennt man "Differenzenquotient". Darin enthalten ist aber noch nicht, dass die beiden Punkte unendlich nah beieinander liegen. Um das auszudrücken, fügt man einfach noch einen Grenzwert (lim/Limes) hinzu:
Diese fertige Formel wird nun als "Differentialquotient" bezeichnet und dient zur Berechnung der Steigung an einem beliebigen Punkt im Graphen einer Funktion.

Nun einmal ein kleines Beispiel.
Gesucht ist die Steigung am Punkt x der Funktion .
Dazu wird nun bzw. für und eingesetzt (und ausgerechnet):

Da und ja unendlich nah beieinander liegen, kann man nun die Steigung an einem beliebigen Punkt des Graphen mit "2x" bestimmten. Genauer schreibt man:
Das in den Klammern lässt man natürlich gewöhnlich weg!
Man kann auch mehrere Male ableiten. Man schreibt dann f ' (x) (=erste Ableitung), f '' (x) (=zweite Ableitung), f ''' (x), usw.


Damit man nicht ständig den oben erwähnten Differentialquotienten verwenden muss, gibt es mehrere feststehende Regeln, die einem das Ableiten wesentlich erleichtern. (Die ganze Theorie da oben steht hier nur, da sie im Unterricht standardmäßig durchgenommen wird - man kann sie sich letztlich beim Ableiten sparen und muss sich nur die Regeln merken).

2. Ableiten von Potenzen

Diese Regel kommt wohl am häufigsten vor und ist auch sehr einfach.

Allgemein:


Beispiele:

3. Ableiten von Summen

Um Summen abzuleiten, muss man einfach nacheinander jeden einzelnen Summanden ableiten:

Allgemein:


Beispiele: